Подгруппа х с единичным элементом называется группой, если все aэХ Еa’эХ aa’=a’a=e, где а’ – обратный элемент для Эл. а.
В группе обратный элемент только один.
Т. подгруппа с единицей явл. группой тогда и только тогда, когда в ней все a,bэХ уравнение:
|ax=b (1)
|ya=b однозначно решимы. (X,•)-группа
1) Необходимость. Пусть (X,•)-группа. Пусть все a,bэХ – произвольные элементы. Тогда Ех=а^-1b Еy=ba^-1 : ax=a(a^-1b)=(aa^-1)b=eb=b
2) Достаточность. Пусть (X,•)-полугруппа . Ур (1) имеет решения все x,yэХ
Докажем что Х явл. группой:
1. Ее: хе=ех=е 2. все а Еа’: aa’=a’a=e
1. EaэХ система Ур. должна иметь решения. Пусть х из (1) будет равен еа (а-индекс), а y=еа’. Докажем что еа явл. правой единицей, для всех переменных а. ea’ – левой единицей для всех элементов подгруппы.
все bэХ: b*ea=b’ ea’*b=b
Пусть все bэХ. Тогда для пары а и b найдётся х и у удовлетв. данной системе. Тогда b*ea=(ya)ea=y(aea)=ya=b; b*ea’=(aх)ea’=y(ea’a)=ax=b => e’a*ea=ea=ea’ => e=ea=ea’ – единичный элемент нашей подгруппы.
2. все аэХ Еа’эХ: аа’=a’a=e
Рассмотрим пару а, е. для этой пары Еа’ и a’’ => aa’=e aa’’=e : a’’(a’a)=(a’’a)a’=a’’=a’.
Опубликовал Kest
January 26 2011 21:23:26 ·
0 Комментариев ·
3802 Прочтений ·
Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.
Пожалуйста, залогиньтесь или зарегистрируйтесь для голосования.
Нет данных для оценки.
Гость
Вы не зарегистрированны? Нажмите здесь для регистрации.
