Свободные и затухающие колебания. Во всякой реальной колебательной системе всегда присутствует сила трения, которую также необходимо учитывать при рассмотрении колебания. При колебательном движении осциллятора им будет совершена работа против сил трения, в результате чего энергия колебаний будет постепенно уменьшаться и как следствие будет уменьшаться амплитуда колебаний. Свободные затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается из-за потерь энергии колебательной системой. Рассмотрим линейную колебательную систему – систему, параметры которой не изменяются в ходе колебаний. Рассмотрим колебания осциллятора, на который помимо квазе-упругих сил действует сила трения. Будем считать, что эта сила трения пропорциональна скорости колебания матерьяльной точки.
F= Fупр+Fтр ; Fупр = -kx ; Fтр = -b * dx/dt ; m * d2 x / dt (ст.2)= -b*dx/dt – kx
Уравнение, описывающее затухающие колебания:
(d2 x / dt (ст2)) + b/m * dx/dt + kx / m = 0 ; Введем обозначения:
w 0 (ст.2) = k/m ; b/m = 2БЕТА ; БЕТА = b/2m; b – коэффициент сопротивления ; (d2 x / dt (ст.2)) + 2БЕТА*dx/dt + w 0 (ст.2) x = 0 ;
БЕТА – коэффициент затухания.
Общее решение этого уравнения будем искать в виде X = A e (ст.ЛЯМДА t).
Подставим это решение в дифференциальное уравнение затухающих колебаний: dx/dt = A ЛЯМДА e (ст. ЛЯМДА t) ; d2 x / dt (ст.2) = A ЛЯМДА (ст.2) e (ст. ЛЯМДА t); A ЛЯМДА (ст.2) e (ст. ЛЯМДА t) + 2bA ЛЯМДА e (ст.ЛЯМДА t) + w 0 (ст.2) A e (ст.ЛЯМДА t) ; Сокращаем:
ЛЯМДА (ст.2) +2БЕТА d + w 0 (ст.2) = 0 – характеристическое уравнение.
Решая его, получаем: X = - БЕТА + - (корень БЕТА (ст.2) – w 0 (ст.2)) =
- БЕТА + - i (корень w 0 (ст.2) – БЕТА (ст.2)) ; Таким образом общее решение исходного дифференциального уравнения можно преобразовать к виду: w = (корень w 0 (ст.2) – БЕТА (ст.2)) ; X (t) = A0 e (ст. – БЕТА t) sin (wt + φ 0) ;
(рисунок – график затухающих колебаний – сжатый синус, все ниже и неже стает по оси OY).
Затухающие колебания не являются периодическими, т.к. максимальное значение колеблющихся величин, достигаемое в некоторый момент времени в последующем никогда не повторяется, поэтому можно говорить об условном периоде затухающих колебаний – T = 2ПИ / w = 2ПИ / (корень w 0 (ст.2) – БЕТА (ст.2)). Если БЕТА >= w 0, то процесс становится апериодическим.
Опубликовал Kest
August 20 2009 15:02:43 ·
0 Комментариев ·
4111 Прочтений ·
Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.
Пожалуйста, залогиньтесь или зарегистрируйтесь для голосования.
Нет данных для оценки.
Гость
Вы не зарегистрированны? Нажмите здесь для регистрации.
