Физический маятник – это твердое тело, способное совершать колебания под действием своей силы тяжести вокруг оси, не проходящей через центр тяжести тела. Эта ось называется осью качания.
M = - J E ; M = m g d * sin? (где d – расстояние от центромасс до места крепления физического маятника) ; J E = - mgd sin? ; E = d2 ? / dt (ст.2) ;
J * (d2 ? / dt (ст.2)) + mgd sin? = 0 ; d2 ? / dt (ст.2) + (mgd / J) sin? = 0 ;
Это дифференциальное уравнение, описывающее колебания физического маятника. При малых углах уклонения можно считать, что sin? = ? радиан ;
(d2 ? / dt (ст.2)) + mgd? / J = 0 ; Это дифференциальное уравнение описывает гармонические колебания, частота которых равна:
d2 S / dt (ст.2) + w0 (ст.2) S = 0 ; w0 (ст.2) = mgd / J ; w0 = корень (mgd / J) ;
T = 2ПИ / w0 = 2ПИ (корень J / mgd).
Если твердое тело представляет собой матерьяльную точку, подвешенную на невесомой, нерастяжимой нити и способную совершать колебания, то маятник будет математическом. J = md (ст.2) ; T = 2ПИ (корень md(ст.2) / mgd) = 2ПИ (корень d / g); T = 2ПИ (корень d / g) – период колебания математического маятника.
Малые колебания физического и математического маятника представляет из себя пример изохронных колебаний, т.е. колебаний, частота которых не зависит от амплитуды. В общем случае период колебаний физического маятника зависит от амплитуды: T = 2ПИ (корень J / mgd) * [1 + 1/2 (ст.2) sin (ст.2) (?/2) + (1/2 * 3/4) (ст.2) sin (ст.2) (?/2) + …]. А та формула дает погрешность не более 1,5% для углов отклонения, не превышающих 15 градусов.
Пружинный маятник. Рассмотрим колебания груза на пружине:
Fупр = - kx (закон Гука); ma = Fупр ; m * (d2 x / dt (ст.2)) = - kx ;
(d2 x / dt (ст.1)) + kx / m = 0 – это дифференциальное уравнение, описывающее колебания груза на пружине, жесткость которого равна k.
Частота этих колебаний: w 0 = (корень) k / m ;
Период: T=2ПИ (корень m / k)
Опубликовал Kest
December 11 2009 15:35:22 ·
0 Комментариев ·
3892 Прочтений ·
Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.
Пожалуйста, залогиньтесь или зарегистрируйтесь для голосования.
Нет данных для оценки.
Гость
Вы не зарегистрированны? Нажмите здесь для регистрации.
